Правило Лопиталя

Если: 1) $f(x), g(x)$ дифференцируемы в $\dot{O}(x_{0})$ 2) $\lim_{x \to x_{0}} f(x) = \lim_{x \to x_{0}} g(x) = 0$ 3) $\forall{x \in \dot{O}(x_{0})}\mathpunct{:}~~ g'(x) \neq 0$ 4) $\exists{\lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}}$ То: $$\lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$$

Рассмотрим: $$\widetilde{f}(x) = \begin{cases} f(x), & x \neq x_{0} \\ 0, & x = x_{0} \end{cases}~~~~~ \widetilde{g}(x) = \begin{cases} g(x), & x \neq x_{0} \\ 0, & x = x_{0} \end{cases}$$ Ясно, что $\widetilde{f}(x)$ и $\widetilde{g}(x)$ - непрерывны в $O(x_{0})$, а значит: $$\lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{\widetilde{f}(x)}{\widetilde{g}(x)} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{\widetilde{f}(x) - 0}{\widetilde{g}(x) - 0} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{\widetilde{f}(x) - \widetilde{f}(x_{0})}{\widetilde{g}(x) - \widetilde{g}(x_{0})} = ~~~(*)$$ По теореме Коши о среднем: $$\exists{c \in (x_{0}, x)}\mathpunct{:}~~ \dfrac{\widetilde{f}(x) - \widetilde{f}(x_{0})}{\widetilde{g}(x) - \widetilde{g}(x_{0})} = \dfrac{\widetilde{f}'(c)}{\widetilde{g}'(c)}$$ Так как $x \to x_{0}$, то $x = c$, а значит, продолжая $(*)$, получаем: $$= \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{\widetilde{f}'(c)}{\widetilde{g}'(c)} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{\widetilde{f}'(x)}{\widetilde{g}'(x)} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$$ А значит: $$\lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} ~~~~\square$$

$\dfrac{0}{0}, x \to \infty$ - доказывается через замену $t = \dfrac{1}{x}$ $\dfrac{\infty}{\infty}, x \to x_{0}$ - "доказывается" так: $\dfrac{\infty_{1}}{\infty_{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{\infty_{2}}}{\dfrac{1}{\infty_{1}}} = \dfrac{0}{0}$